2. 考研
  3. 在上半平面上求一条凹曲线，其上任一点M(χ，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段MQ长度的倒数，Q是法线与χ轴的交点，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．

在上半平面上求一条凹曲线，其上任一点M(χ，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段MQ长度的倒数，Q是法线与χ轴的交点，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．

admin2018-06-12  31
问题 在上半平面上求一条凹曲线，其上任一点M(χ，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段MQ长度的倒数，Q是法线与χ轴的交点，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．
选项
答案设所求曲线为y＝y(χ)，则它在点M(χ，y)处的法线为 Y－y(χ)＝－[*](X－χ)． (y′≠0) 令Y＝0，得与χ轴的交点Q(χ＋yy′，0)， [*](y′＝0时也满足)． 按题意得微分方程 [*] 即yy〞＝1＋y′2 按题意，初始条件是：y(1)＝1，y′(1)＝0． 下解初值问题[*] 这是不显含χ的可降阶方程，解法是：作变换y′＝[*]＝p，并以y为自变量，得 [*] 代入方程得y[*]＝1＋p2． 这是可分离变量的方程，分离变量得 [*] 由y＝1时y′＝p＝0 [*]C1＝1[*] 注意，由方程知，y＞0时y〞＞0，再由y′(1)＝0，则χ＞1时y′＞0；χ＜1时y′＜0 于是[*] 两边积分并注意χ＝1时y＝1解得 ln(y＋[*])＝±(χ－1)，即y＋[*]． 由此又得y－[*]． 因此所求解y＝[*][eχ－1＋e－(χ－1)]即为所求曲线方程．
解析
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考研数学一

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