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在上半平面上求一条凹曲线,其上任一点M(χ,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段MQ长度的倒数,Q是法线与χ轴的交点,且曲线在点(1,1)处的切线与χ轴平行.
在上半平面上求一条凹曲线,其上任一点M(χ,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段MQ长度的倒数,Q是法线与χ轴的交点,且曲线在点(1,1)处的切线与χ轴平行.
admin
2018-06-12
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问题
在上半平面上求一条凹曲线,其上任一点M(χ,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段MQ长度的倒数,Q是法线与χ轴的交点,且曲线在点(1,1)处的切线与χ轴平行.
选项
答案
设所求曲线为y=y(χ),则它在点M(χ,y)处的法线为 Y-y(χ)=-[*](X-χ). (y′≠0) 令Y=0,得与χ轴的交点Q(χ+yy′,0), [*](y′=0时也满足). 按题意得微分方程 [*] 即yy〞=1+y
′2
按题意,初始条件是:y(1)=1,y′(1)=0. 下解初值问题[*] 这是不显含χ的可降阶方程,解法是:作变换y′=[*]=p,并以y为自变量,得 [*] 代入方程得y[*]=1+p
2
. 这是可分离变量的方程,分离变量得 [*] 由y=1时y′=p=0 [*]C
1
=1[*] 注意,由方程知,y>0时y〞>0,再由y′(1)=0,则χ>1时y′>0;χ<1时y′<0 于是[*] 两边积分并注意χ=1时y=1解得 ln(y+[*])=±(χ-1),即y+[*]. 由此又得y-[*]. 因此所求解y=[*][e
χ-1
+e
-(χ-1)
]即为所求曲线方程.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/RFg4777K
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考研数学一
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