设n阶矩阵A，B可交换、即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值．证明： (1)A的特征向量都是B的特征向量； (2)B相似于对角矩阵．

admin2018-07-27 64

问题设n阶矩阵A，B可交换、即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值．证明：
(1)A的特征向量都是B的特征向量；
(2)B相似于对角矩阵．

选项

答案由于A有n个互不相同特征值，故A有n个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2)成立，故只需证明(1)。下证(1)：设α为A的特征向量，则有数λ使Aα=λα，两端左乘B，并利用AB=BA，得A(Bα)=λ(Bα)，若Bα≠0，则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量，因方程组(λE－A)x=0的解空间为1维的，故有数μ，使Bα=μα，故α亦为B的特征向量；若Bα=0，则Bα=0α，即α为B的属于特征值0的特征向量，总之，α必为B的特征向量，由于α的任意性，知A的特征向量都是B的特征向量．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/RWW4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设n阶矩阵A，B可交换、即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值．证明： (1)A的特征向量都是B的特征向量； (2)B相似于对角矩阵．

考研数学三

求微分方程(x-4)y4dx-x3(y2-3)dy=0的通解．

设总体X～E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的联合概率密度f(x1，x2，…，xn)=________.

证明n维列向量α1，α2，…，αn线性无关的充要条件是

已知α1=(1，-1，1)T，α2=(1，t，-1)T，α3=(t，1，2)T，β=(4，t2，-4)T，若β可以由α1，α2，α3线性表出且表示法不唯一，求t及β的表达式．

判断α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，-1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+9)T的线性相关性．

如果秩r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，αs+1)，证明αs+1可由α1，α2，…，αs线性表出．

设矩阵A的伴随矩阵A*=，且ABA-1=BA-1+3E．①求矩阵B．

设A是n阶实对称矩阵，AB+BTA是正定矩阵，证明A可逆．

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为(一1，0，1)T．求A．

已知三阶方阵A的三个特征值为1，一1，2，相应特征向量分别为则P一1AP=________．

掷两粒骰子，出现点数之和为5的概率为()

癌痛时需要口服麻醉剂属于癌痛分级

菌痢假膜形成属急性阑尾炎属

设A是n阶矩阵，且Ak=0(k为正整数)，则()。

证券公司董事会在严格遵守监管法规的基础上，根据公司()情况确定自营业务规模、可承受的风险限额等。

下列指标中，可以用来衡量风险的有()。

我国某企业在非洲一国家承包了一项基建项目，该国频繁发生恐怖袭击。施工进行过程中，由于员工忽视安全，造成了人身伤亡事故，这属于()。

阐述苏格拉底方法与孔子关于启发式教学的思想，并比较二者的异同。

有以下定义：inta；longb；doublex，y；则以下选项中正确的表达式是