设二次型f=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32, 求a,b的值及所用正交变换。

admin2019-01-23  40

问题 设二次型f=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32
求a,b的值及所用正交变换。

选项

答案二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形,故A与B不仅合同而且相似。由1+1+1=3+3+b得b=一3。 对λ=3,则有 |3E—A|=[*]=一2(a+2)2=0,因此a=一2(二重根)。 由(3E一A)x=0,得特征向量α1=(1,一1,0)T,α2=(1,0,一1)T。 由(一3E一A)x=0,得特征向量α3=(1,1,1)T。 因为λ=3是二重特征值,对α1,α2正交化有 β11=(1,一1,0)T, β22一[*]β1=(1,0,一1)T一[*](1,一1,0)=[*](1,1,一2)T。 单位化,有 γ1=[*](1,一1,0)T,γ2=[*](1,1,一2)T,γ3=[*](1,1,1)T。 令 C=(γ1,γ2,γ3)=[*], 经正交交换x=Cy,二次型化为3y12+3y22一3y32

解析
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