2. 考研
  3. 设二次型f=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32， 求a，b的值及所用正交变换。

设二次型f=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32， 求a，b的值及所用正交变换。

admin2019-01-23  93
问题 设二次型f=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32，
求a，b的值及所用正交变换。
选项
答案二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似。由1+1+1=3+3+b得b=一3。 对λ=3，则有 |3E—A|=[*]=一2(a+2)2=0，因此a=一2(二重根)。 由(3E一A)x=0，得特征向量α1=(1，一1，0)T，α2=(1，0，一1)T。 由(一3E一A)x=0，得特征向量α3=(1，1，1)T。 因为λ=3是二重特征值，对α1，α2正交化有 β1=α1=(1，一1，0)T， β2=α2一[*]β1=(1，0，一1)T一[*](1，一1，0)=[*](1，1，一2)T。 单位化，有 γ1=[*](1，一1，0)T，γ2=[*](1，1，一2)T，γ3=[*](1，1，1)T。 令 C=(γ1，γ2，γ3)=[*], 经正交交换x=Cy，二次型化为3y12+3y22一3y32。
解析
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考研数学三

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