已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．

admin2017-08-18 43

问题已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．

选项

答案设旋转边上的高为z，分该边长为x与y，见图8.2，于是该三角形的周长为l＝x＋y＋[*]，该旋转体的体积V＝[*]π(x＋y)z²．问题化成求V在条件l一2p＝0下的最大值点[*]求(x＋y)z²在条件l一2p＝0下的最大值点[*]求ln(x＋y)＋2lnz在条件x＋y＋[*]—2p＝0下的最大值点．用拉格朗日乘子法．令F(x，y，z，λ)＝ln(x＋y)＋2lnz＋λ(x＋y＋[*])，解方程组 [*] 由①，②[*]x＝y，再由④ [*]⑤ [*] 由实际问题知，最大体积一定存在，以上又是方程组的唯一解，因而三角形的三边长分别为[*] [*]，旋转边为[*]时旋转体的体积最大．

解析

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考研数学一

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已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．

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