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  3. 求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数。

求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数。

admin2018-12-29  124
问题 求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数。
选项
答案令f(x)=karctanx—x，则f(0)=0，且 [*] 当k＜1时，f′(x)＜0，f(x)在(—∞，+∞)单调递减，故此时f(x)的图形与x轴只有一个交点，也即方程karctanx—x=0只有一个实根。 当k=1时，在(一∞，0)和(0，+∞)上都有f′(x)＜0，所以f(x)在(一∞，0)和(0，+∞)上是严格单调递减的，又f(0)=0，故f(x)的图形在(一∞，0)和(0，+∞)上与x轴均无交点。 当k＞1时，[*]时，f′(x)＞0，f(x)在[*]上单调递增，由f(0)=0知，f(x)在[*]上只有一个实根；又f(x)在[*]上都有f′(x)＜0，因此f(x)在[*]上都单调递减，且[*]，所以f(x)在[*]上与x轴均只有一个交点。 综上所述，k≤1时，方程karctanx—x=0只有一个实根；k＞1时，方程karctanx—x=0有三个实根。
解析
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考研数学一

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