2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1＝λ2＝6是A的二重特征值，若α1＝(1，1，0)T，α2＝(2，1，1)T，α3＝(－1，2，－3)T，都是A的属于特征值6的特征向量． (1)求A的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵A．

设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1＝λ2＝6是A的二重特征值，若α1＝(1，1，0)T，α2＝(2，1，1)T，α3＝(－1，2，－3)T，都是A的属于特征值6的特征向量． (1)求A的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵A．

admin2017-06-26  31
问题 设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1＝λ2＝6是A的二重特征值，若α1＝(1，1，0)T，α2＝(2，1，1)T，α3＝(－1，2，－3)T，都是A的属于特征值6的特征向量．
    (1)求A的另一特征值和对应的特征向量；
    (2)求矩阵A．
选项
答案(1)因为λ1＝λ2＝6是A的二重特征值，故A的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个，有题设可得α1，α2，α3的一个极大无关组为α1，α2，故α1，α2为A的属于特征值6的线性无关的特征向量． 由r(A)＝2知｜A｜＝0，所以A的另一特征值为λ3＝0． 设λ3＝0对应的特征向量为α＝(χ1，χ2χ3)T，则有αiTα＝0(i＝1，2)， 即[*] 解得此方程组的基础解系为α＝(－1，1，1)T，即A的属于特征值λ3＝0的特征向量为kα＝k(－1，1，1)T(k为任意非零常数)． (2)令矩阵P＝[α1 α2 α3]，则有 [*] 计算可得 [*]
解析
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考研数学三

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