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设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(-1,2,-3)T,都是A的属于特征值6的特征向量. (1)求A的另一特征值和对应的特征向量; (2)求矩阵A.
设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(-1,2,-3)T,都是A的属于特征值6的特征向量. (1)求A的另一特征值和对应的特征向量; (2)求矩阵A.
admin
2017-06-26
22
问题
设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ
1
=λ
2
=6是A的二重特征值,若α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(2,1,1)
T
,α
3
=(-1,2,-3)
T
,都是A的属于特征值6的特征向量.
(1)求A的另一特征值和对应的特征向量;
(2)求矩阵A.
选项
答案
(1)因为λ
1
=λ
2
=6是A的二重特征值,故A的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个,有题设可得α
1
,α
2
,α
3
的一个极大无关组为α
1
,α
2
,故α
1
,α
2
为A的属于特征值6的线性无关的特征向量. 由r(A)=2知|A|=0,所以A的另一特征值为λ
3
=0. 设λ
3
=0对应的特征向量为α=(χ
1
,χ
2
χ
3
)
T
,则有α
i
T
α=0(i=1,2), 即[*] 解得此方程组的基础解系为α=(-1,1,1)
T
,即A的属于特征值λ
3
=0的特征向量为kα=k(-1,1,1)
T
(k为任意非零常数). (2)令矩阵P=[α
1
α
2
α
3
],则有 [*] 计算可得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SVH4777K
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考研数学三
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