设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(-1,2,-3)T,都是A的属于特征值6的特征向量. (1)求A的另一特征值和对应的特征向量; (2)求矩阵A.

admin2017-06-26  22

问题 设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(-1,2,-3)T,都是A的属于特征值6的特征向量.
    (1)求A的另一特征值和对应的特征向量;
    (2)求矩阵A.

选项

答案(1)因为λ1=λ2=6是A的二重特征值,故A的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个,有题设可得α1,α2,α3的一个极大无关组为α1,α2,故α1,α2为A的属于特征值6的线性无关的特征向量. 由r(A)=2知|A|=0,所以A的另一特征值为λ3=0. 设λ3=0对应的特征向量为α=(χ1,χ2χ3)T,则有αiTα=0(i=1,2), 即[*] 解得此方程组的基础解系为α=(-1,1,1)T,即A的属于特征值λ3=0的特征向量为kα=k(-1,1,1)T(k为任意非零常数). (2)令矩阵P=[α1 α2 α3],则有 [*] 计算可得 [*]

解析
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