设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)-3∫0xf(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．

admin2020-03-16 58

问题设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)-3∫₀^xf(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．

选项

答案∫₀^x(x-x)dt=-∫₀^x(t-x)d(x-t)=-∫_x⁰f(-u)d=∫₀^xf(u)du，则有f’(x)+2f(x)-3∫₀^xf(u)du=-3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．将f’(x)+2f(x)-3∫₀^xf(u)du=-3x+2两边对x求导数得 f’’(x)+2f’(x)-3f(x)=-3，其通解为f(x)=C₁e^x+C₂e^-3x+1，将初始条件代入得f(x)=1．

解析

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