若矩阵相似于对角矩阵A，试确定常数α的值；并求可逆矩阵P，使P一1AP=A．

admin2016-01-11 71

问题若矩阵

相似于对角矩阵A，试确定常数α的值；并求可逆矩阵P，使P^一1AP=A．

选项

答案矩阵A的特征多项式为[*] 故A的特征值为λ₁=λ₂=6，λ₃=一2．由于A相似于对角矩阵A，故对应于λ₁=λ₂=6应有两个线性无关的特征向量．因此矩阵6E一A的秩应为1．从而由[*] 知a=0．于是对应于λ₁=λ₂=6的两个线性无关的特征向量可取为[*] 当λ₃=一2时，[*] 于是对应于λ₃=一2的特征向量可取为[*]令[*] 则P可逆，并有P^一1AP=A．

解析本题主要考查矩阵可相似对角化问题和矩阵特征值与特征向量的计算．利用矩阵可相似于对角矩阵的充要条件解此题．

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