设f’(x)∈c[0，2]，证明：｜f(2)｜≤＋∫02｜f’(x)｜dx．

admin2021-03-16 44

问题设f’(x)∈c[0，2]，证明：｜f(2)｜≤

＋∫₀²｜f’(x)｜dx．

选项

答案由积分中值定理，存在c∈[0，2]，使得 ∫₀²f(x)dx＝2f(c)，即[*]∫₀²f(x)dx＝f(c)；由牛顿—莱布尼兹公式得 f(2)－f(c)＝∫₀²f’(x)dx，或f(2)＝f(c)＋∫₀²f’(x)dx，故｜f(2)｜≤｜f(c)｜＋｜∫_c²f’(x)dx｜≤｜[*]∫₀²f(x)dx｜＋∫₀²｜f’(x)｜dx．

解析

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