设函数f(x)在x=a处可导,则函数︱f(x)︱在点x=a处不可导的充分条件是( )

admin2020-03-24  27

问题 设函数f(x)在x=a处可导,则函数︱f(x)︱在点x=a处不可导的充分条件是(    )

选项 A、f(a)=0且f(a)=0
B、f(a)=0且f(a)≠0
C、f(a)>0且f(a)>0
D、f(a)<0且f(a)<0

答案B

解析 由于f(x)在x=a处可导,则f(x)在x=a处必连续。
当f(a)>0时,则在x=a的某个领域内f(x)>0,此时︱f(x)︱=f(x),︱f(x)︱在x=a处可导,故选项C不正确。同理,当f(x)<0时,︱f(x)︱=-f(x),︱f(x)︱在x=a处也可到,故排除选项D。
当f(a)=0时,设φ(x)=︱f(x)︱,则有

若φ(x)在x=a处可导,则需-︱f(a)︱=︱f(a)︱,故f(a)=0,反之,当φ(x)不可导时,必f(a)≠0。故选B。
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