设函数f(x)在x=a处可导，则函数︱f(x)︱在点x=a处不可导的充分条件是( )

admin2020-03-24 20

问题设函数f(x)在x=a处可导，则函数︱f(x)︱在点x=a处不可导的充分条件是( )

选项 A、f(a)=0且f^’(a)=0
B、f(a)=0且f^’(a)≠0
C、f(a)＞0且f^’(a)＞0
D、f(a)＜0且f^’(a)＜0

答案B

解析由于f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处必连续。
当f(a)＞0时，则在x=a的某个领域内f(x)＞0，此时︱f(x)︱=f(x)，︱f(x)︱在x=a处可导，故选项C不正确。同理，当f(x)＜0时，︱f(x)︱=-f(x)，︱f(x)︱在x=a处也可到，故排除选项D。
当f(a)=0时，设φ(x)=︱f(x)︱，则有

若φ(x)在x=a处可导，则需-︱f^’(a)︱=︱f^’(a)︱，故f^’(a)=0，反之，当φ(x)不可导时，必f^’(a)≠0。故选B。

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