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[2010年] 设m,n均是正整数,则反常积分dx的收敛性( ).
[2010年] 设m,n均是正整数,则反常积分dx的收敛性( ).
admin
2019-04-05
76
问题
[2010年] 设m,n均是正整数,则反常积分
dx的收敛性( ).
选项
A、仅与m的取值有关
B、仅与n的取值有关
C、与m,n的取值都有关
D、与m,n的取值都无关
答案
D
解析
直接利用命题1.3.4.2判别.
易看出所给的反常积分有两个瑕点x=0与x=1.因而先将该反常积分分解为两个单一型的反常积分之和:
dx=I
1
+I
2
.
记f(x)=
(x→0
+
).下面分三种情况讨论I
1
的敛散性.
(1)设n>1,取0<p=
<1,因
=0.
由命题1.3.4.2(1)知,I
1
收敛.
(2)设n=1,m=1,2,则
=0,此时I
1
已不是反常积分,当然收敛.
(3)设n=1,m>2,取P=1一
,则0<P<1,且有
=1.
由命题1.3.4.2(1)知,I
1
也收敛.综上所述,无论m,n取什么正整数,I
1
均收敛.
下面讨论I
2
的敛散性.
对任意0<p<1,由命题1.3.4.3知,对任意正整数n,m,有
(1一x)
p
f(x)=
(1一x)=0.
再由命题1.3.4.2(1)知,I
2
=∫
1/2
1
f(x)dx 收敛.
因此对任意正整数m,n,所给反常积分收敛.仅(D)入选.
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