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  3. [2010年] 设m，n均是正整数，则反常积分dx的收敛性( )．

[2010年] 设m，n均是正整数，则反常积分dx的收敛性( )．

admin2019-04-05  76
问题 [2010年]  设m，n均是正整数，则反常积分dx的收敛性(    )．
选项 A、仅与m的取值有关
B、仅与n的取值有关
C、与m，n的取值都有关
D、与m，n的取值都无关
答案D
解析 直接利用命题1．3．4．2判别．
  易看出所给的反常积分有两个瑕点x=0与x=1．因而先将该反常积分分解为两个单一型的反常积分之和：
dx=I1+I2．
记f(x)=(x→0+)．下面分三种情况讨论I1的敛散性．
(1)设n＞1，取0＜p=＜1，因=0．
由命题1．3．4．2(1)知，I1收敛．
(2)设n=1，m=1，2，则=0，此时I1已不是反常积分，当然收敛．
(3)设n=1，m＞2，取P=1一，则0＜P＜1，且有=1．
由命题1．3．4．2(1)知，I1也收敛．综上所述，无论m，n取什么正整数，I1均收敛．
下面讨论I2的敛散性．
对任意0＜p＜1，由命题1．3．4．3知，对任意正整数n，m，有
(1一x)pf(x)=(1一x)=0．
再由命题1．3．4．2(1)知，I2=∫1/21f(x)dx 收敛．
因此对任意正整数m，n，所给反常积分收敛．仅(D)入选．
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考研数学二

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