设4阶矩阵A满足A3＝A． (1)证明A的特征值不能为0，1，和－1以外的数． (2)如果A还满足｜A＋2E｜＝8，确定A的特征值．

admin2018-11-23 18

问题设4阶矩阵A满足A³＝A．
(1)证明A的特征值不能为0，1，和－1以外的数．
(2)如果A还满足｜A＋2E｜＝8，确定A的特征值．

选项

答案(1)由于A³＝A，A的特征值λ满足λ³＝λ，从而λ只能为0，1或－1(但并非0，1，－1都一定是A的特征值!)． (2)由A的特征值不是0，1，－1外的数，得知A＋2E的特征值不是2，3，1之外的数．又由于｜A＋2E｜＝8，必有A＋2E的特征值为2，2，2，1，从而A的特征值为0，0，0，－1．

解析

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