设矩阵A=，且A3=O。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)若矩阵X满足X—XA2一AX+AXA2=E，其中E为三阶单位矩阵，求X。

admin2021-01-25 37

问题设矩阵A=

，且A³=O。
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若矩阵X满足X—XA²一AX+AXA²=E，其中E为三阶单位矩阵，求X。

选项

答案(Ⅰ)由题设可知A的特征根必满足λ³=0，也即A的特征值为0，则tr(A)=3a=0，故a=0。 (Ⅱ)由题设可知X(E—A²)一AX(E—A²)=E，则(X—AX)(E一A²)=E，从而 X=(E一A)^-1(E—A²)^-1=E(E—A²)(E—A]^-1 =(E—A—A²+A³)^-1=(E—A—A²)^-1，易得E—A—A²=[*]，则通过初等变换可得X=[*]。

解析

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考研数学三

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