2. 考研
  3. 设矩阵A=，且A3=O。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)若矩阵X满足X—XA2一AX+AXA2=E，其中E为三阶单位矩阵，求X。

设矩阵A=，且A3=O。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)若矩阵X满足X—XA2一AX+AXA2=E，其中E为三阶单位矩阵，求X。

admin2021-01-25  47
问题 设矩阵A=，且A3=O。
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若矩阵X满足X—XA2一AX+AXA2=E，其中E为三阶单位矩阵，求X。
选项
答案(Ⅰ)由题设可知A的特征根必满足λ3=0，也即A的特征值为0，则tr(A)=3a=0，故a=0。 (Ⅱ)由题设可知X(E—A2)一AX(E—A2)=E，则(X—AX)(E一A2)=E，从而 X=(E一A)-1(E—A2)-1=E(E—A2)(E—A]-1 =(E—A—A2+A3)-1=(E—A—A2)-1， 易得E—A—A2=[*]，则通过初等变换可得X=[*]。
解析
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考研数学三

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