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  3. 若函数f(x)在(一∞，+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1，证明：f(x)=ex．

若函数f(x)在(一∞，+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1，证明：f(x)=ex．

admin2020-03-16  48
问题 若函数f(x)在(一∞，+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1，证明：f(x)=ex．
选项
答案[*]
解析 欲证f(x)=ex，一种思路是移项作辅助函数ψ(x)=f(x)一ex，如能证明ψ’(x)≡0，从而ψ(x)≡C．由条件ψ(0)=f(0)一1=0，得C=0，即f(x)一ex≡0，于是f(x)=ex．但ψ’(x)=f’(x)一ex，利用已知条件f’(x)=f(x)得ψ’(x)=f(x)一ex，要证ψ’(x)≡0，即要证f(x)=ex，而这就是我们要证明的结论，故这种思路行不通．另一种思路是由f(x)=ex两边同除以ex得辅助函数ψ(x)=．若能证明ψ’(x)=0，从而ψ(x)=C，由条件ψ(0)==0，因此本题利用第二种思路．
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考研数学二

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