若函数f(x)在(一∞，+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1，证明：f(x)=ex．

admin2020-03-16 61

问题若函数f(x)在(一∞，+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1，证明：f(x)=e^x．

选项

答案[*]

解析欲证f(x)=e^x，一种思路是移项作辅助函数ψ(x)=f(x)一e^x，如能证明ψ’(x)≡0，从而ψ(x)≡C．由条件ψ(0)=f(0)一1=0，得C=0，即f(x)一e^x≡0，于是f(x)=e^x．但ψ’(x)=f’(x)一e^x，利用已知条件f’(x)=f(x)得ψ’(x)=f(x)一e^x，要证ψ’(x)≡0，即要证f(x)=e^x，而这就是我们要证明的结论，故这种思路行不通．另一种思路是由f(x)=e^x两边同除以e^x得辅助函数ψ(x)=

．若能证明ψ’(x)=0，从而ψ(x)=C，由条件ψ(0)=

=0，因此本题利用第二种思路．

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