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  3. 求证：当x＞0时不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．

求证：当x＞0时不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．

admin2020-03-16  48
问题 求证：当x＞0时不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．
选项
答案令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，则有f(0)=0， f’(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f’(0)=0， f’’(x)=2-[*][x-ln(1+x)]，f’’(0)=0， f’’’(x)=[*]，f’’’(0)=0． 于是f’’(x)当x≥0时单调增加，又f’’(0)=0，所以当x＞0时f’’(x)＞f’’(0)=0．从而f’(x)当x≥0时单调增加，又f’(0)=0，故当x＞0时f’(x)＞f’(0)=0．因此f(x)当x≥0时单调增加，又f(0)=0，所以当x＞0时f(x)＞f(0)=0．原不等式得证．
解析
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考研数学二

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