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  3. 设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn＝l(n＝2，3，…)． (Ⅰ)证明方程fn(x)＝0在区间[0，＋∞)内存在唯一的实根，记为xn； (Ⅱ)求(Ⅰ)中的{xn}的极限值

设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn＝l(n＝2，3，…)． (Ⅰ)证明方程fn(x)＝0在区间[0，＋∞)内存在唯一的实根，记为xn； (Ⅱ)求(Ⅰ)中的{xn}的极限值

admin2019-12-23  20
问题 设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn＝l(n＝2，3，…)．
(Ⅰ)证明方程fn(x)＝0在区间[0，＋∞)内存在唯一的实根，记为xn；
(Ⅱ)求(Ⅰ)中的{xn}的极限值
选项
答案(Ⅰ)由fn(0)＝－1＜0，fn(1)＝n－1＞0，n＝2，3，…，所以fn(x)＝0在区间(0，1)内存在实根，记为xn． 以下证在区间(0，＋∞)内至多存在一个实根．事实上， f＇n(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1>0，z∈(0，＋∞)． 所以在区间(0，＋∞)内fn(x)＝0至多存在一个实根．结合以上讨论至少一个至多一个，所以fn(x)＝0在区间(0，＋∞)内存在唯一的实根，且在区间(0，1)内．记此根为xn(n＝2，3，…)． (Ⅱ)欲求[*]，先证其存在，为此，证{xn}单调减少． 0＝fn(xn)－fn＋1(xn＋1) ＝(xn＋xn2＋…＋xnn)－(xn＋1＋xn＋12＋…＋xn＋1n＋xn＋1n＋1)． ＝(xn－xn＋1)[1＋(xn＋xn＋1)＋…＋(xnn－1＋xnn－2xn＋1＋…＋xn－1n－1)]－xn＋1n＋1． 由于[ ]内为正，等号左边为0，所以xn－xn＋1＞0(n＝2，3，…)，不然上面等号右边为负，与左边为零矛盾．于是知{xn)关于n严格单调减少，且有下界(因xn＞0)．所以 [*] 另一方面，由xn＜x2＜1(n＞2)，所以0＜xnn＜x2n． 但0＜x2＜1，由夹逼定理知[*]． 由[*]． 两边取极限，得[*]， [*]
解析
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考研数学一

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