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设fn(x)=x+x2+…+xn=l(n=2,3,…). (Ⅰ)证明方程fn(x)=0在区间[0,+∞)内存在唯一的实根,记为xn; (Ⅱ)求(Ⅰ)中的{xn}的极限值
设fn(x)=x+x2+…+xn=l(n=2,3,…). (Ⅰ)证明方程fn(x)=0在区间[0,+∞)内存在唯一的实根,记为xn; (Ⅱ)求(Ⅰ)中的{xn}的极限值
admin
2019-12-23
22
问题
设f
n
(x)=x+x
2
+…+x
n
=l(n=2,3,…).
(Ⅰ)证明方程f
n
(x)=0在区间[0,+∞)内存在唯一的实根,记为x
n
;
(Ⅱ)求(Ⅰ)中的{x
n
}的极限值
选项
答案
(Ⅰ)由f
n
(0)=-1<0,f
n
(1)=n-1>0,n=2,3,…,所以f
n
(x)=0在区间(0,1)内存在实根,记为x
n
. 以下证在区间(0,+∞)内至多存在一个实根.事实上, f'
n
(x)=1+2x+3x
2
+…+nx
n-1
>0,z∈(0,+∞). 所以在区间(0,+∞)内f
n
(x)=0至多存在一个实根.结合以上讨论至少一个至多一个,所以f
n
(x)=0在区间(0,+∞)内存在唯一的实根,且在区间(0,1)内.记此根为x
n
(n=2,3,…). (Ⅱ)欲求[*],先证其存在,为此,证{x
n
}单调减少. 0=f
n
(x
n
)-f
n+1
(x
n+1
) =(x
n
+x
n
2
+…+x
n
n
)-(x
n+1
+x
n+1
2
+…+x
n+1
n
+x
n+1
n+1
). =(x
n
-x
n+1
)[1+(x
n
+x
n+1
)+…+(x
n
n-1
+x
n
n-2
x
n+1
+…+x
n-1
n-1
)]-x
n+1
n+1
. 由于[ ]内为正,等号左边为0,所以x
n
-x
n+1
>0(n=2,3,…),不然上面等号右边为负,与左边为零矛盾.于是知{x
n
)关于n严格单调减少,且有下界(因x
n
>0).所以 [*] 另一方面,由x
n
<x
2
<1(n>2),所以0<x
n
n
<x
2
n
. 但0<x
2
<1,由夹逼定理知[*]. 由[*]. 两边取极限,得[*], [*]
解析
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考研数学一
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