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设A=(α1,α2,α3)是5×3矩阵β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，试证α1,α2,α3,β1，β2线性无关．
设A=(α1,α2,α3)是5×3矩阵β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，试证α1,α2,α3,β1，β2线性无关．
admin
2016-01-11
93
问题
设A=(α
1
,α
2
,α
3
)是5×3矩阵β
1
，β
2
是齐次线性方程组A
T
x=0的基础解系，试证α
1
,α
2
,α
3
,β
1
，β
2
线性无关．
选项
答案
因β
1
，β
2
是齐次线性方程组A
T
x=0的基础解系，所以有5-r(A
T
)=2，即r(A)=3，故α
1
,α
2
,α
3
线性无关．又 [*] 有 α
j
T
β
i
=0(i=1，2，j=1，2，3)．设 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
β
1
+k
5
β
2
=0，令 γ=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=一k
4
β
1
+k
5
β
2
，则 (k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
，-k
4
β
1
－k
5
β
2
)=(γ，γ)=0．因而k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0，一k
4
β
1
－k
5
β
2
=0，而α
1
,α
2
,α
3
及β
1
β
2
是线性无关的，故k
1
=k
2
=k
3
=0，k
4
=k
5
=0，从而α
1
,α
2
,α
3
，β
1
β
2
线性无关．
解析
本题是向量与方程组的综合题．注意齐次线性方程组的基础解系是线性无关的．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Ui34777K
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