2. 考研
  3. 设A=(α1,α2,α3)是5×3矩阵β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，试证α1,α2,α3,β1，β2线性无关．

设A=(α1,α2,α3)是5×3矩阵β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，试证α1,α2,α3,β1，β2线性无关．

admin2016-01-11  51
问题 设A=(α1,α2,α3)是5×3矩阵β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，试证α1,α2,α3,β1，β2线性无关．
选项
答案因β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，所以有5-r(AT)=2，即r(A)=3，故α1,α2,α3线性无关．又 [*] 有 αjTβi=0(i=1，2，j=1，2，3)．设 k1α1+k2α2+k3α3+k4β1+k5β2=0，令 γ=k1α1+k2α2+k3α3 =一k4β1+k5β2，则 (k1α1+k2α2+k3α3，-k4β1－k5β2)=(γ，γ)=0．因而k1α1+k2α2+k3α3=0，一k4β1－k5β2=0，而α1,α2,α3及β1β2是线性无关的，故k1=k2=k3=0，k4=k5=0，从而α1,α2,α3，β1β2线性无关．
解析 本题是向量与方程组的综合题．注意齐次线性方程组的基础解系是线性无关的．
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考研数学二

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