若f"(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内

admin2019-03-08  38

问题 若f"(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内

选项 A、有极值点,无零点.
B、无极值点,有零点.
C、有极值点,有零点.
D、无极值点,无零点.

答案C

解析 由题设条件知曲线y=f(x)是凸的,且f"(x)<0,曲率半径为

而y’(1)=f’(1)=一1,则y"(1)=f"(1)=一2.
由于f"(x)<0,则f’(x)在[1,2]上单调减,从而f’(x)≤f’(1)<
0,从而函数f(x)在[1,2]上单调减,故该函数没有极值点.
又f(1)=1>0,f(2)一f(1)=f’(ξ)(2—1)=f’(ξ)<一1.
则f(2)<一1+f(1)=0,即f(2)<0,所以,函数f(x)在(1,2)内有唯一零点,故应选(B).
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