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  3. 设fn(x)=x+x2+-…+xn，n=2，3，…．(1)证明方程fn(x)=1在[0，+∞)有唯一实根xn；

设fn(x)=x+x2+-…+xn，n=2，3，…．(1)证明方程fn(x)=1在[0，+∞)有唯一实根xn；

admin2020-03-16  34
问题 设fn(x)=x+x2+-…+xn，n=2，3，…．(1)证明方程fn(x)=1在[0，+∞)有唯一实根xn；
选项
答案(1)fn(x)连续，且fn(0)=0，fn(1)=n＞1，由介值定理，[*]∈(0，1)，使fn(xn)=1，n=2，3，…，又x＞0时，fn’(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，故fn(x)严格单增，因此xn是fn(x)=1在[0，+∞)内的唯一实根． (2)由(1)可得，xn∈(0，1)，n=2，3，…，所以{xn}有界． 又因为fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2，3，…，所以 xn+xn2+…+xnn=xn+1+xn+12+…+xn+1n+xn+1n+1， 即(xn+xn2+…+xnn)一(xn+1+xn+12+…+xn+1n)=xn+1n+1＞0，因此xn＞xn+1，n=2，3，…，即{xn}严格单调减少．于是由单调有界准则知[*]由xn+xn2+…+xnn=1得[*]=1．因为0＜xn＜1，所以[*]
解析
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考研数学二

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