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(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a); (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>2φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),
(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a); (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>2φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),
admin
2017-04-24
108
问题
(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫
a
b
f(x)dx=f(η)(b一a);
(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>2φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ"(ξ)<0.
选项
答案
(Ⅰ)设M与m是连续函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,即 m≤f(x)≤M,x∈[a,b] 由定积分性质,有 m(b一a)≤∫
a
b
f(x)dx≤M(b一a) 即 [*] 由连续函数介值定理,至少存在一点η∈[a,b],使得f(η)=[*]∫
a
b
f(x)dx, 即 ∫
a
b
f(x)dx=f(η)(b—a) (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,可知至少存在一点η∈[2,3],使 ∫
2
3
φ(x) dx=φ(η)(3一2)=φ(n) 又由φ(2)>∫
2
3
2φ(x)dx=φ(η)知,2<η≤3. 对φ(x)在[1,2]和[2,η]上分别应用拉格朗日中值定理,并注意到φ(1)<φ(2),φ(η)<φ(2),得 [*] 在[ξ
1
,ξ
2
]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理,有 [*] ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](1,3).
解析
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考研数学二
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