2. 考研
  3. (Ⅰ)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)； (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞2φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，

(Ⅰ)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)； (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞2φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，

admin2017-04-24  118
问题 (Ⅰ)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)；
(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞2φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0．
选项
答案(Ⅰ)设M与m是连续函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，即 m≤f(x)≤M，x∈[a，b] 由定积分性质，有 m(b一a)≤∫abf(x)dx≤M(b一a) 即 [*] 由连续函数介值定理，至少存在一点η∈[a，b]，使得f(η)=[*]∫abf(x)dx， 即 ∫abf(x)dx=f(η)(b—a) (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，可知至少存在一点η∈[2，3]，使 ∫23φ(x) dx=φ(η)(3一2)=φ(n) 又由φ(2)＞∫232φ(x)dx=φ(η)知，2＜η≤3． 对φ(x)在[1，2]和[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)，得 [*] 在[ξ1，ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理，有 [*] ξ∈(ξ1，ξ2)[*](1，3)．
解析
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考研数学二

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