(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a); (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>2φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),

admin2017-04-24  53

问题 (Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a);
(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>2φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ"(ξ)<0.

选项

答案(Ⅰ)设M与m是连续函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,即 m≤f(x)≤M,x∈[a,b] 由定积分性质,有 m(b一a)≤∫abf(x)dx≤M(b一a) 即 [*] 由连续函数介值定理,至少存在一点η∈[a,b],使得f(η)=[*]∫abf(x)dx, 即 ∫abf(x)dx=f(η)(b—a) (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,可知至少存在一点η∈[2,3],使 ∫23φ(x) dx=φ(η)(3一2)=φ(n) 又由φ(2)>∫232φ(x)dx=φ(η)知,2<η≤3. 对φ(x)在[1,2]和[2,η]上分别应用拉格朗日中值定理,并注意到φ(1)<φ(2),φ(η)<φ(2),得 [*] 在[ξ1,ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理,有 [*] ξ∈(ξ1,ξ2)[*](1,3).

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WAt4777K
0

最新回复(0)