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(1997年试题,五)设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为L上任一点,M0(2,0)为L上一定点.若极径OM0,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.
(1997年试题,五)设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为L上任一点,M0(2,0)为L上一定点.若极径OM0,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.
admin
2013-12-18
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问题
(1997年试题,五)设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为L上任一点,M
0
(2,0)为L上一定点.若极径OM
0
,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M
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,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.
选项
答案
根据题意,由面积与弧长的计算公式得[*]将上式两边对θ求导,得[*],即[*],此为可分离变量方程,从而[*]此式两边积分,得[*]即[*]由已知r(0)=2,代入上式得[*],故曲线L的方程为[*],由于rcosθ=x,rsin0=y,于是所求直线为[*].
解析
为查在极坐标下求面积和弧长的公式,及含有变限积分的函数方程问题转化为微分方程问题的方法,其中,面积公式
弧长公式:
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考研数学二
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