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设f(x)为[—a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x—t|f(t)dt。 证明f′(x)单调增加。
设f(x)为[—a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x—t|f(t)dt。 证明f′(x)单调增加。
admin
2018-12-29
15
问题
设f(x)为[—a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫
—a
a
|x—t|f(t)dt。
证明f′(x)单调增加。
选项
答案
F(x)=∫
—a
a
|x—t|f(t)dt=∫
—a
x
(x—t)f(t)dt+∫
x
a
f(t)dt =x∫
—a
x
f(t)dt—∫
—a
x
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt—x∫
x
a
f(t)dt =x∫
—a
x
f(t)dt—∫
—a
x
tf(t)dt—∫
a
x
tf(t)dt+x∫
a
x
f(t)dt, f′(x)=∫
—a
x
f(t)dt+xf(x)—xf(x)+∫
a
x
f(t)dt+xf(x) =∫
—a
x
f(t)dt—∫
x
a
f(t)dt, 所以f″(x)=2f(x)>0,因此f′(x)单调增加。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WJM4777K
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考研数学一
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