2. 考研
  3. 设f(x)为[—a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x—t｜f(t)dt。 证明f′(x)单调增加。

设f(x)为[—a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x—t｜f(t)dt。 证明f′(x)单调增加。

admin2018-12-29  35
问题 设f(x)为[—a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x—t｜f(t)dt。
证明f′(x)单调增加。
选项
答案F(x)=∫—aa｜x—t｜f(t)dt=∫—ax(x—t)f(t)dt+∫xaf(t)dt =x∫—axf(t)dt—∫—axtf(t)dt+∫xatf(t)dt—x∫xaf(t)dt =x∫—axf(t)dt—∫—axtf(t)dt—∫axtf(t)dt+x∫axf(t)dt， f′(x)=∫—axf(t)dt+xf(x)—xf(x)+∫axf(t)dt+xf(x) =∫—axf(t)dt—∫xaf(t)dt， 所以f″(x)=2f(x)＞0，因此f′(x)单调增加。
解析
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考研数学一

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