设f(x)为[—a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x—t｜f(t)dt。证明f′(x)单调增加。

admin2018-12-29 51

问题设f(x)为[—a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫_—a^a｜x—t｜f(t)dt。
证明f′(x)单调增加。

选项

答案F(x)=∫_—a^a｜x—t｜f(t)dt=∫_—a^x(x—t)f(t)dt+∫_x^af(t)dt =x∫_—a^xf(t)dt—∫_—a^xtf(t)dt+∫_x^atf(t)dt—x∫_x^af(t)dt =x∫_—a^xf(t)dt—∫_—a^xtf(t)dt—∫_a^xtf(t)dt+x∫_a^xf(t)dt， f′(x)=∫_—a^xf(t)dt+xf(x)—xf(x)+∫_a^xf(t)dt+xf(x) =∫_—a^xf(t)dt—∫_x^af(t)dt，所以f″(x)=2f(x)＞0，因此f′(x)单调增加。

解析

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