设A，B都是对称矩阵，并且E+AB可逆，证明(E+AB)－1A是对称矩阵．

admin2020-03-16 36

问题设A，B都是对称矩阵，并且E+AB可逆，证明(E+AB)^－1A是对称矩阵．

选项

答案(E+AB)^－1A对称，就是[(E+AB)^－1A]^T=(E+AB)^－1A． [(E+AB)^－1A]^T=A[(E+AB)^－1]^T=A[(E+AB)^T]^－1=A(E+BA)^－1．于是要证明的是 (E+AB)^－1A=A(E+BA)^－1．对此式作恒等变形： (E+AB)^－1A=A(E+BA)^－1<=>A=(E+AB)A(E+BA)^－1 (用E+AB左乘等式两边) <=>A(E+BA)=(E+AB)A (用E+BA右乘等式两边)．等式A(E+BA)=(E+AB)A．显然成立，于是(E+AB)^－1A=A(E+BA)^－1成立．

解析

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