设a1,a2,…,an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

admin2018-12-29  30

问题 设a1,a2,…,an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

选项

答案必要性:a1,a2,…,an是线性无关的一组n维向量,因此r(a1,a2,…,an)=n。对任一n维向量b,因为a1,a2,…,an,b的维数n小于向量的个数n+1,故a1,a2,…,an,b线性相关。 综上所述r(a1,a2,…,an,b)=n。 又因为a1,a2,…,an线性无关,所以n维向量b可由a1,a2,…,an线性表示。 充分性:已知任一n维向量b都可由a1,a2,…,an线性表示,则单位向量组ε1,ε2,…,εn可由a1,a2,…,an线性表示,即 r(ε1,ε2,…,εn) =n≤r(a1,a2,…,an), 又a1,a2,…,an是一组n维向量,有r(a1,a2,…,an)≤n。 综上,r(a1,a2,…,an)=n。所以a1,a2,…,an线性无关。

解析
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