求下列二重积分: (Ⅰ)I=,其中D为正方形域:0≤x≤1,0≤y≤1; (Ⅱ)I=|3x+4y|dxdy,其中D:x2+y2≤1; (Ⅲ)I=ydxdy,其中D由直线z=一2,y=0,y=2及曲线x=一所围成.

admin2018-11-21  29

问题 求下列二重积分:
(Ⅰ)I=,其中D为正方形域:0≤x≤1,0≤y≤1;
(Ⅱ)I=|3x+4y|dxdy,其中D:x2+y2≤1;
(Ⅲ)I=ydxdy,其中D由直线z=一2,y=0,y=2及曲线x=一所围成.

选项

答案考察积分区域与被积函数的特点,选择适当方法求解. (Ⅰ)尽管D的边界不是圆弧,但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便. D的边界线x=1及y=1的极坐标方程分别为 [*] (Ⅱ)在积分区域D上被积函数分块表示,若用分块积分法较复杂.因D是圆域,可用极坐标变换,转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形.这时可利用周期函数的积分性质. 作极坐标变换x=reosθ,y=rsinθ,则D:0≤θ≤2π,0≤r≤1.从而 I=∫03cosθ+4sinθ|dθ∫01r.rdr =[*]∫0|sin(θ+θ0)|dθ, 其中sinθ0=[*].由周期函数的积分性质,令t=θ+θ0就有 [*] (Ⅲ)D的图形如图9.53所示.若把D看成正方形区域挖去半圆D1,则计算D1上的积分自然选用极坐标变换.若只考虑区域D,则自然考虑先x后y的积分顺序化为累次积分.若注意D关于直线y=1对称,选择平移变换则最为方便. 作平移变换u=x,v=y—1,注意曲线x=一[*]即x2+(y一1)2=1,x≤0,则D变成D’.D’由u=一2,v=一1,v=1,u2+v2=1(u≤0)围成,则 [*] (在uv平面上D’关于u轴对称)

解析
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