设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求： A2；

admin2016-01-11 69

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0．记n阶矩阵A=αβ^T，试求：
A²；

选项

答案由A=αβ^T和α^Tβ=0，有A²=AA=(αβ^T)(αβ^T)=α(β^Tα)β^T=(β^Tα)αβ^T=(α^Tβ)^Tαβ^T=O，即A²为n阶零矩阵．

解析本题主要考查矩阵的特征值与特征向量的求法和矩阵的运算．利用矩阵乘法的结合律以及α^Tβ为一数值易计算出A²，利用(1)的结论及特征值的定义即可求出A的特征值．在求出了A的特征值之后，便可解出全部特征向量．

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