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  3. 已知A是m×n矩阵，B是n×P矩阵，r(B)=n，AB=0，证明A=0．

已知A是m×n矩阵，B是n×P矩阵，r(B)=n，AB=0，证明A=0．

admin2016-10-20  25
问题 已知A是m×n矩阵，B是n×P矩阵，r(B)=n，AB=0，证明A=0．
选项
答案(1)由r(B)=n，知B的列向量中有n个是线性无关的，设为β1，β2，…，βn．令B1=(β1，β2，…，βn)，它是n阶矩阵，其秩是n，因此B1可逆．由AB=0，知AB1=0，那么右乘B1-1，得A=(AB1)B1-1=OB1-1=0． (2)由AB=0知B=(β1，β2，…，βP)的每一列都是齐次方程组Ax=0的解，因为r(B)=n，故Ax=0至少有n个线性无关的解，但Ax=0最多有n-r(a)个线性无关的解，于是n≤n-r(A) [*]r(A)≤0，按秩的定义又有r(A)≥0，所以r(A)=0，即A=0． (3)对矩阵B按行分块，有 [*] 那么 a11α1+a12α2+…+a1nαn=0． 因为r(B)=r(α1，α2，…，αn)=n，知α1，α2，…，αn线性无关，于是组合系数 a11=a12=…=a1n≡0． 同理，得aij≡0，即A=0． (4)由AB=0 知r(A)+r(B)≤n．又r(B)=n，故r(A)≤0．显然r(A)≥0．所以必有r(A)=O，即有A=0．
解析
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考研数学三

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