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已知A是m×n矩阵,B是n×P矩阵,r(B)=n,AB=0,证明A=0.
已知A是m×n矩阵,B是n×P矩阵,r(B)=n,AB=0,证明A=0.
admin
2016-10-20
32
问题
已知A是m×n矩阵,B是n×P矩阵,r(B)=n,AB=0,证明A=0.
选项
答案
(1)由r(B)=n,知B的列向量中有n个是线性无关的,设为β
1
,β
2
,…,β
n
.令B
1
=(β
1
,β
2
,…,β
n
),它是n阶矩阵,其秩是n,因此B
1
可逆.由AB=0,知AB
1
=0,那么右乘B
1
-1
,得A=(AB
1
)B
1
-1
=OB
1
-1
=0. (2)由AB=0知B=(β
1
,β
2
,…,β
P
)的每一列都是齐次方程组Ax=0的解,因为r(B)=n,故Ax=0至少有n个线性无关的解,但Ax=0最多有n-r(a)个线性无关的解,于是n≤n-r(A) [*]r(A)≤0,按秩的定义又有r(A)≥0,所以r(A)=0,即A=0. (3)对矩阵B按行分块,有 [*] 那么 a
11
α
1
+a
12
α
2
+…+a
1n
α
n
=0. 因为r(B)=r(α
1
,α
2
,…,α
n
)=n,知α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,于是组合系数 a
11
=a
12
=…=a
1n
≡0. 同理,得a
ij
≡0,即A=0. (4)由AB=0 知r(A)+r(B)≤n.又r(B)=n,故r(A)≤0.显然r(A)≥0.所以必有r(A)=O,即有A=0.
解析
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