设α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=0，A=E+αβT．试计算： (1)｜A｜． (2)An． (3)A—1．

admin2019-08-06 24

问题设α=[a₁，a₂，…，a_n]^T≠0，β=[b₁，b₂，…，b_n]^T≠0，且α^Tβ=0，A=E+αβ^T．试计算：
(1)｜A｜．
(2)Aⁿ．
(3)A^—1．

选项

答案(1)[*] (2)Aⁿ=(E+αβ^T)ⁿ =Eⁿ+nE^n—1αβ^T+[*]E^n—2(αβ^T)²+… 当k≥2时， (αβ^T)^k=(αβ^T)(αβ^T)．…．(αβ^T) =α(αβ^Tα)(αβ^Tα)．…．β^T=0．故Aⁿ=E+nαβ^T． (3)A²=(E+αβ^T)(E+αβ^T)=E+2αβ^T+αβ^T．αβ^T =E+2αβ^T=2E+2αβ^T—E=2A—E． 2A—A²=E， A(2E一A)=E， A^—1=(2E—A)=E一αβ^T．

解析

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考研数学三

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