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设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数y=∫ab|x-t|φ(t)dt的图形在(a,b)内( )
设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数y=∫ab|x-t|φ(t)dt的图形在(a,b)内( )
admin
2019-03-11
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问题
设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数y=∫
a
b
|x-t|φ(t)dt的图形在(a,b)内( )
选项
A、为凸
B、为凹
C、有拐点
D、有间断点
答案
B
解析
先将φ(x)利用|x-t|的分段性分解变形,有
φ(x)=∫
a
x
(x-t)φ(t)dt+∫
x
b
(t-x)φ(t)dt=x∫
a
x
φ(t)dt-∫
a
x
tφ(t)dt+∫
x
b
tφ(t)dt-x∫
x
b
φ(t)dt
因为φ(t)在[a,b]上连续,所以φ(x)可导,因而答案不可能是(D).其余三个选项,只需求出φˊˊ(x),讨论φˊˊ(x)在(a,b)内的符号即可.因
φˊ(x)=∫
a
x
φ(t)dt-∫
x
b
φ(t)dt,
φˊˊ(x)=2φ(x)>0,x∈[a,b],
故y=φ(x)在(a,b)内的图形为凹.应选(B).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aJP4777K
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考研数学三
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