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设α1,α2,α3都是矩阵A的特征向量,特征值两两不同,记γ=α1+α2+α3. 证明γ,Aγ,A2γ线性无关,γ,Aγ,A2γ,A3γ线性相关.
设α1,α2,α3都是矩阵A的特征向量,特征值两两不同,记γ=α1+α2+α3. 证明γ,Aγ,A2γ线性无关,γ,Aγ,A2γ,A3γ线性相关.
admin
2019-01-29
42
问题
设α
1
,α
2
,α
3
都是矩阵A的特征向量,特征值两两不同,记γ=α
1
+α
2
+α
3
.
证明γ,Aγ,A
2
γ线性无关,γ,Aγ,A
2
γ,A
3
γ线性相关.
选项
答案
设α
1
,α
2
,α
3
的特征值为a,b,c,由于它们两两不同,α
1
,α
2
,α
3
线性无关, γ=α
1
+α
2
+α
3
,Aγ=aα
1
+bα
2
+cα
3
, A
2
γ=a
2
α
1
+b
2
α
2
+c
2
α
3
,A
3
γ=a
3
α
1
+b
3
α
2
+C
3
α
3
, 则γ,Aγ,A
2
γ对α
1
,α
2
,α
3
的表示矩阵为[*],其行列式为范德蒙行列式,并且(因为a,b,c两两不同)值不为0,于是r(γ,Aγ,A
2
γ)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=3,因此γ,Aγ,A
2
γ无关. γ,Aγ,A
2
γ,A
3
γ可以用α
1
,α
2
,α
3
线性表示,因此线性相关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/awj4777K
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考研数学二
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