已知矩阵有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求An．

admin2022-10-13 12

问题已知矩阵

有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求Aⁿ．

选项

答案由矩阵A的特征多项式 [*] 可知矩阵A的特征值是1，1，2．因为A有3个线性无关的特征向量，故A可化为相似对角矩阵．对应重根λ₁=λ₂=1，应该有2个线性无关的特征向量．于是r(1．E－A)=3－2=1，即r(E－A)=1．又 [*] 故 a=1． [*] 得基础解系α₁=(1，0，1)^T， α₂=(0，1，0)^T． [*] 得基础解系α₃=(2，－1，3)^T．那么令P=(α₁，α₂，α₃)，有P^－1AP=[*]，从而A=P[*]P^－1．于是 Aⁿ=P[*]P^－1 [*]

解析

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考研数学一

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