设f(x)在[一e，e]上连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0。 (Ⅰ)证明：对于任意x∈(0，e)，至少存在一个θ∈(0，1)，使得 ∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]。 (Ⅱ)求极限。

admin2020-03-05 29

问题设f(x)在[一e，e]上连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0。
(Ⅰ)证明：对于任意x∈(0，e)，至少存在一个θ∈(0，1)，使得
∫₀^xf(t)dt+∫₀^-xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]。
(Ⅱ)求极限

。

选项

答案(Ⅰ)设F(x)=∫₀^xf(t)dt+∫₀^-xf(t)dt，x∈[一e，e]。则F(x)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导。由拉格朗日中值定理F(x)一F(0)=F’(θx)(x一0)，其中0＜θ＜1。即 ∫₀^xf(t)dt+∫₀^-xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结论，可得 [*]

解析

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考研数学一

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