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设f(x)在[一e,e]上连续,在x=0处可导,且f’(0)≠0。 (Ⅰ)证明:对于任意x∈(0,e),至少存在一个θ∈(0,1),使得 ∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]。 (Ⅱ)求极限。
设f(x)在[一e,e]上连续,在x=0处可导,且f’(0)≠0。 (Ⅰ)证明:对于任意x∈(0,e),至少存在一个θ∈(0,1),使得 ∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]。 (Ⅱ)求极限。
admin
2020-03-05
36
问题
设f(x)在[一e,e]上连续,在x=0处可导,且f’(0)≠0。
(Ⅰ)证明:对于任意x∈(0,e),至少存在一个θ∈(0,1),使得
∫
0
x
f(t)dt+∫
0
-x
f(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]。
(Ⅱ)求极限
。
选项
答案
(Ⅰ)设F(x)=∫
0
x
f(t)dt+∫
0
-x
f(t)dt,x∈[一e,e]。则F(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导。 由拉格朗日中值定理F(x)一F(0)=F’(θx)(x一0),其中0<θ<1。即 ∫
0
x
f(t)dt+∫
0
-x
f(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结论,可得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ccS4777K
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考研数学一
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