2. 考研
  3. 设f(x)在[一e，e]上连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0。 (Ⅰ)证明：对于任意x∈(0，e)，至少存在一个θ∈(0，1)，使得 ∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]。 (Ⅱ)求极限。

设f(x)在[一e，e]上连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0。 (Ⅰ)证明：对于任意x∈(0，e)，至少存在一个θ∈(0，1)，使得 ∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]。 (Ⅱ)求极限。

admin2020-03-05  30
问题 设f(x)在[一e，e]上连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0。
(Ⅰ)证明：对于任意x∈(0，e)，至少存在一个θ∈(0，1)，使得
    ∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]。
(Ⅱ)求极限。
选项
答案(Ⅰ)设F(x)=∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt，x∈[一e，e]。则F(x)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导。 由拉格朗日中值定理F(x)一F(0)=F’(θx)(x一0)，其中0＜θ＜1。即 ∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结论，可得 [*]
解析
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考研数学一

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