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已知二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)2＋(χ2＋a2χ3)2＋…＋(χn＋anχ1)2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(χ1，χ2，…，χn)正定?
已知二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)2＋(χ2＋a2χ3)2＋…＋(χn＋anχ1)2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(χ1，χ2，…，χn)正定?
admin
2019-05-14
25
问题
已知二次型f(χ
1
，χ
2
，…，χ
n
)＝(χ
1
＋a
1
χ
2
)
2
＋(χ
2
＋a
2
χ
3
)
2
＋…＋(χ
n
＋a
n
χ
1
)
2
．a
1
，a
2
，…，a
n
满足什么条件时f(χ
1
，χ
2
，…，χ
n
)正定?
选项
答案
记y
1
＝χ
1
＋a
1
χ
2
，y
2
＝χ
2
＋a
2
χ
3
，…，y
n
＝χ
n
＋a
n
χ
1
，则 [*] 简记为Y＝AX． 则f(χ
1
，χ
2
，…，χ
n
)＝Y
T
Y＝X
T
A
T
AX．于是，实对称矩阵A
T
A就是f(χ
1
，χ
2
，…，χ
n
)的矩阵．从而f正定就是A
T
A正定． A
T
A正定的充要条件是A可逆．计算出｜A｜＝1＋(－1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
．于是，f正定的充要条件为a
1
a
2
…a
n
≠(－1)
n
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ci04777K
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考研数学一
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