设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零，证明A为正定矩阵。

admin2021-11-25 35

问题设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零，证明A为正定矩阵。

选项

答案A所对应的二次型为f=X^TAX 因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X=QY，使得 f=X^TAX[*]λ₁y₁²+λ₂y₂²+λ₃y₃²+…+λ_ny_n²,其中λ_i＞0(i=1,2,…,n) 对任意的X≠0,因为X=QY,所以Y=Q^TX≠0 于是f=λ₁y₁²+λ₂y₂²+λ₃y₃²+…+λ_ny_n²＞0，即对任意的X≠0有X^TAX＞0，所以X^TAX为正定二次型，故A为正定矩阵。

解析

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