设A为实对称矩阵,且A的特征值都大于零,证明A为正定矩阵。

admin2021-11-25  18

问题 设A为实对称矩阵,且A的特征值都大于零,证明A为正定矩阵。

选项

答案A所对应的二次型为f=XTAX 因为A是实对称矩阵,所以存在正交变换X=QY,使得 f=XTAX[*]λ1y122y223y32+…+λnyn2,其中λi>0(i=1,2,…,n) 对任意的X≠0,因为X=QY,所以Y=QTX≠0 于是f=λ1y122y223y32+…+λnyn2>0,即对任意的X≠0有XTAX>0,所以XTAX为正定二次型,故A为正定矩阵。

解析
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