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  3. 设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，则必有

设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，则必有

admin2015-05-07  39
问题 设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，则必有
选项 A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解
D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解
答案A
解析 若α是(Ⅰ)的解，即Anα=0，显然An+1α=A(Anα)=A0=0，即必是(Ⅱ)的解．可排除(C)和(D)．
    若η是(Ⅱ)的解，即An+1η=0．假若η不是(Ⅰ)的解，即Anη≠0，那么对于向量组η，Aη，
    A2η，…，Anη，一方面这是n+1个n维向量必线性相关；另一方面，若
    kη+k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，
    用An左乘上式，并把An+1η=0，An+2η=0，…，代入，得kAnη=0．
    由于Anη≠0，必有k=0．对
    k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，
    用An－1左乘上式可推知k1=0．
    类似可知ki=0(i=2，3，…，n)．于是向量组η，Aη，A2η，…，Anη线性无关，两者矛盾．所以
    必有Anη=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．由此可排除(B)．故应选(A)．
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考研数学一

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