2. 考研
  3. 设曲面积分J＝ 其中S+为上半椭球面：＝1(0≤z≤c)的上侧． (Ⅰ)求证：J＝，其中Ω是上半椭球体：≤1(0≤z≤c)； (Ⅱ)求曲面积分J．

设曲面积分J＝ 其中S+为上半椭球面：＝1(0≤z≤c)的上侧． (Ⅰ)求证：J＝，其中Ω是上半椭球体：≤1(0≤z≤c)； (Ⅱ)求曲面积分J．

admin2020-08-03  71
问题 设曲面积分J＝
    其中S+为上半椭球面：＝1(0≤z≤c)的上侧．
    (Ⅰ)求证：J＝，其中Ω是上半椭球体：≤1(0≤z≤c)；
    (Ⅱ)求曲面积分J．
选项
答案(Ⅰ)由题设S*的方程，J可简化成 [*] 要将曲面积分J化为三重积分，可用高斯公式．由于S+不是封闭曲面，故要添加辅助面 [*] 取法向量n向下，S＋与S1＋所围的区域记为Ω，它的边界取外侧，于是在Ω上用高斯公式得 [*] 其中S1＋上的曲面积分为零，因为S1＋与yz平面及zχ平面均垂直，又在S1＋上z＝0． (Ⅱ)求曲面积分J转化为求题(Ⅰ)中的三重积分．怎样计算这个三重积分： [*] 因为力是半椭球体，不宜选用球坐标变换与柱坐标变换．我们用先二(先对χ，y积分)后一(后对z积分)的积分顺序求 [*] 由于z∈[0，c]，与z轴垂直的平面截Ω得区域D(z)为 [*] 又这个椭圆的两个半轴分别为[*]，面积是，πab(1－[*])，于是 [*] 但是，由坐标的轮换对称性，有J1＝J2＝J3． [*]
解析
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考研数学一

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