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已知矩阵 (Ⅰ)求A99; (Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1,α2,α3)满足B2=BA。记B100=(β1,β2,β3),将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合。
已知矩阵 (Ⅰ)求A99; (Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1,α2,α3)满足B2=BA。记B100=(β1,β2,β3),将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合。
admin
2018-04-08
22
问题
已知矩阵
(Ⅰ)求A
99
;
(Ⅱ)设三阶矩阵B=(α
1
,α
2
,α
3
)满足B
2
=BA。记B
100
=(β
1
,β
2
,β
3
),将β
1
,β
2
,β
3
分别表示为α
1
,α
2
,α
3
的线性组合。
选项
答案
(Ⅰ)矩阵A的特征多项式为[*]=λ(λ+1)(λ+2), 则A的特征值为λ
1
=-1,λ
2
=-2,λ
3
=0。 解线性方程组(λ
i
E—A)x=0(i=1,2,3)可得特征值λ
1
=-1,λ
2
=-2,λ
3
=0对应的特征向量分别为 α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(1,2,0)
T
,α
3
=(3,2,2)
T
,令P=(α
1
,α
2
,α
3
),则P
-1
AP= [*] (Ⅱ)由B
2
=BA可知,B
3
=B
2
A=BAA=BA
2
,依次类推,B
100
=BA
99
,即 (β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
) [*] 则 β
1
=(2
99
-2)α
1
+(2
100
-2)α
2
, β
2
=(1-2
99
)α
1
+(1-2
100
)α
2
, β
3
=(2-2
98
)α
1
+(2-2
99
)α
2
。
解析
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考研数学一
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