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已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C>0,AC—B2>0)为中心在原点的椭圆,求它的面积.
已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C>0,AC—B2>0)为中心在原点的椭圆,求它的面积.
admin
2018-11-21
74
问题
已知平面曲线Ax
2
+2Bxy+Cy
2
=1 (C>0,AC—B
2
>0)为中心在原点的椭圆,求它的面积.
选项
答案
椭圆上点(x,y)到原点的距离平方为d
2
=x
2
+y
2
,条件为Ax
2
+2Bxy+Cy
2
一1=0. 令F(x,y,λ)=x
2
+y
2
一A(Ax
2
+2Bxy+Cy
2
一1),解方程组 [*] 将①式乘x,②式乘y,然后两式相加得 [(1一Aλ)x
2
一Bλxy]+[一Bλxy+(1一Cλ)y
2
]=0, 即 x
2
+y
2
=λ(Ax
2
+2Bxy+Cy
2
)=λ, 于是可得d=[*]. 从直观知道,函数d
2
的条件最大值点与最小值点是存在的,其坐标不同时为零,即联立方程组F’
x
=0,F’
y
=0有非零解,其系数行列式应为零,即 [*] 该方程一定有两个根λ
1
,λ
2
,它们分别对应d
2
的最大值与最小值.因此,椭圆的面积为 [*]
解析
只需求椭圆的半长轴a与半短轴b,它们分别是椭圆上的点到中心(原点)的距离的最大值与最小值.因此,归结为求解条件极值问题.
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考研数学一
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