讨论曲线y=4Inx+k与y=4x+In4x的交点个数.

admin2022-09-05 92

问题讨论曲线y=4Inx+k与y=4x+In⁴x的交点个数.

选项

答案问题等价于讨论方程ln⁴x－4lnx+4x－k= 0有几个不同的实根. 设ψ(x)=ln⁴x－4lnx+4x－k=0，则有[*]，不难看出x=1是ψ(x)的驻点。当0＜x＜1时，ψ’(x)＜0,即ψ(x)单调减少；当x＞1时，ψ’(x)＞0,即ψ(x)单调增加，故ψ(1)=4－k为函数ψ(x)的最小值。当k＜4,即4－k＞0时，ψ(x)=0无实根，即两条曲线无交点。当k=4，即4－k=0时，ψ(x)=0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点。当k＞4,即4－k＜0时，由于 [*] 故ψ(x)=0有两个实根，分别位于(0,1)与(1,+∞)内，即两条曲线有两个交点。

解析

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