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设A是n阶矩阵,A=E+xyT,x与y都是n×1矩阵,且xTy=2,求A的特征值、特征向量.
设A是n阶矩阵,A=E+xyT,x与y都是n×1矩阵,且xTy=2,求A的特征值、特征向量.
admin
2020-03-10
83
问题
设A是n阶矩阵,A=E+xy
T
,x与y都是n×1矩阵,且x
T
y=2,求A的特征值、特征向量.
选项
答案
令B=xy
T
=[*](y
1
,y
2
,…,y
n
),则B
2
=(xy
T
)(xy
T
)=x(y
T
x)y
T
=2xy
T
=2B, 可见B的特征值只能是0或2. 因为r(B)=1,故齐次方程组Bx=0的基础解系由n-1个向量组成,则 [*] 基础解系是:α
1
=(-y
2
,y
1
,0,…,0)
T
, α
2
=(-y
3
,0,y
1
,…,0)
T
,…, α
n-1
=(-y
n
,0,0,…,y
1
)
T
. 这正是B的关于λ=0,也就是A关于λ=1的,n-1个线性无关的特征向量. 由于B
2
=2B,对B按列分块,记B=(β
1
,β
2
,…,β
n
),则 B(β
1
,β
2
,…,β
n
)=2(β
1
,β
2
,…,β
n
),即Bβ
i
=2β
i
.可见α
n
=(x
1
,x
2
,…,x
n
)
T
是B关于λ=2,也就是A关于λ=3的特征向量. 那么,A的特征值是1(n-1重)和3,特征向量分别是 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
,k
n
α
n
,其中k
1
,k
2
,…,k
n-1
不全为0,k
n
≠0.
解析
令B=xy
T
,则A=E+B,如λ是B的特征值,α是对应的特征向量,那么
Aa=(B+E)α=λα+α=(λ+1)α.
可见λ+1就是A的特征值,α是A关于λ+1的特征向量.反之,若Aα=λα,则有Bα=(λ-1)α.
所以,为求A的特征值、特征向量就可转化为求B的特征值、特征向量.
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考研数学三
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