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  3. 设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且xTy=2，求A的特征值、特征向量．

设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且xTy=2，求A的特征值、特征向量．

admin2020-03-10  60
问题 设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且xTy=2，求A的特征值、特征向量．
选项
答案令B=xyT=[*](y1，y2，…，yn)，则B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B， 可见B的特征值只能是0或2． 因为r(B)=1，故齐次方程组Bx=0的基础解系由n-1个向量组成，则 [*] 基础解系是：α1=(-y2，y1，0，…，0)T， α2=(-y3，0，y1，…，0)T，…， αn-1=(-yn，0，0，…，y1)T. 这正是B的关于λ=0，也就是A关于λ=1的，n-1个线性无关的特征向量． 由于B2=2B，对B按列分块，记B=(β1，β2，…，βn)，则 B(β1，β2，…，βn)=2(β1，β2，…，βn)，即Bβi=2βi．可见αn=(x1，x2，…，xn)T是B关于λ=2，也就是A关于λ=3的特征向量． 那么，A的特征值是1(n-1重)和3，特征向量分别是 k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1，knαn，其中k1，k2，…，kn-1不全为0，kn≠0．
解析 令B=xyT，则A=E+B，如λ是B的特征值，α是对应的特征向量，那么
    Aa=(B+E)α=λα+α=(λ+1)α．   
可见λ+1就是A的特征值，α是A关于λ+1的特征向量．反之，若Aα=λα，则有Bα=(λ-1)α．
所以，为求A的特征值、特征向量就可转化为求B的特征值、特征向量．
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考研数学三

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