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设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意的x0∈I,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4,求f(x)的表达式.
设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意的x0∈I,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4,求f(x)的表达式.
admin
2020-04-21
63
问题
设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意的x
0
∈I,曲线y=f(x)在点(x
0
,f(x
0
))处的切线与直线x=x
0
及x轴所围成区域的面积恒为4,求f(x)的表达式.
选项
答案
由题意知,曲线y=f(x)在(x
0
,f(x
0
))处的切线方程为y-f(x
0
)=fˊ(x
0
)·(x-x
0
). 即y=f(x
0
)+fˊ(x
0
)·(x-x
0
),该切线与x轴交点的横坐标为 [*] 由题设条件,知 [*] 由x
0
∈I的任意性,得fˊ(x)=1/8f
2
(x). 解微分方程,得[*] 故f(x)=8/(4-x),x∈I.
解析
先求切线方程,再由切线、x轴及直线x=x
0
所围区域面积得关于f(x)的一阶微分方程,解微分方程可得f(x)的表达式.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gB84777K
0
考研数学二
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