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已知4维向量α1,α2,α3,α4线性相关,而α2,α3,α4,α5线性无关. (Ⅰ)证明α1可由α2,α3,α4线性表出; (Ⅱ)证明α5不能由α1,α2,α3,α4线性表出; (Ⅲ)举例说明α2能否由α1,α3,α4,α5线性表
已知4维向量α1,α2,α3,α4线性相关,而α2,α3,α4,α5线性无关. (Ⅰ)证明α1可由α2,α3,α4线性表出; (Ⅱ)证明α5不能由α1,α2,α3,α4线性表出; (Ⅲ)举例说明α2能否由α1,α3,α4,α5线性表
admin
2018-06-12
18
问题
已知4维向量α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,而α
2
,α
3
,α
4
,α
5
线性无关.
(Ⅰ)证明α
1
可由α
2
,α
3
,α
4
线性表出;
(Ⅱ)证明α
5
不能由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出;
(Ⅲ)举例说明α
2
能否由α
1
,α
3
,α
4
,α
5
线性表出是不确定的.
选项
答案
(Ⅰ)由α
2
,α
3
,α
4
,α
5
线性无关,可知α
2
,α
3
,α
4
线性无关,又因α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,所以α
1
可由α
2
,α
3
,α
4
线性表出. 或者,由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关知有不全为0的k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,使 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
α
4
=0, 那么必有k≠0(否则有k
2
,k
3
,k
4
不全为0而k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
α
4
=0,于是α
2
,α
3
,α
4
线性相关,这与α
2
,α
3
,α
4
,α
5
线性无关相矛盾).从而 α
1
=[*], 即α
1
可由α
2
,α
3
,α
4
线性表出. (Ⅱ)如果α
5
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
α
4
,由(Ⅰ)可设α
1
=l
2
α
2
+l
3
α
3
+l
4
α
4
,那么 α
2
=(k
1
l
2
+k
2
)α
2
+(k
1
l
3
+k
3
)α
3
+(k
1
l
4
+k
4
)α
4
, 这与α
2
,α
3
,α
4
,α
5
线性无关相矛盾,从而α
5
不能由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出. (Ⅲ)设α
2
=(1,0,0,0)
T
,α
3
=(0,1,0,0)
T
,α
4
=(0,0,1,0)
T
,α
5
=(0,0,0,1)
T
,那么 当α
1
=(1,1,1,0)
T
时,α
2
=可由α
1
,α
3
,α
4
,α
5
线性表出; 而当α
1
=α
3
时,α
2
不能由α
1
,α
3
,α
4
,α
5
线性表出.
解析
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