已知4维向量α1,α2,α3,α4线性相关,而α2,α3,α4,α5线性无关. (Ⅰ)证明α1可由α2,α3,α4线性表出; (Ⅱ)证明α5不能由α1,α2,α3,α4线性表出; (Ⅲ)举例说明α2能否由α1,α3,α4,α5线性表

admin2018-06-12  24

问题 已知4维向量α1,α2,α3,α4线性相关,而α2,α3,α4,α5线性无关.
    (Ⅰ)证明α1可由α2,α3,α4线性表出;
    (Ⅱ)证明α5不能由α1,α2,α3,α4线性表出;
    (Ⅲ)举例说明α2能否由α1,α3,α4,α5线性表出是不确定的.

选项

答案(Ⅰ)由α2,α3,α4,α5线性无关,可知α2,α3,α4线性无关,又因α1,α2,α3,α4线性相关,所以α1可由α2,α3,α4线性表出. 或者,由α1,α2,α3,α4线性相关知有不全为0的k1,k2,k3,k4,使 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0, 那么必有k≠0(否则有k2,k3,k4不全为0而k2α2+k3α3+k4α4=0,于是α2,α3,α4线性相关,这与α2,α3,α4,α5线性无关相矛盾).从而 α1=[*], 即α1可由α2,α3,α4线性表出. (Ⅱ)如果α5=k1α1+k2α2+k3α3+k4α4,由(Ⅰ)可设α1=l2α2+l3α3+l4α4,那么 α2=(k1l2+k22+(k1l3+k33+(k1l4+k44, 这与α2,α3,α4,α5线性无关相矛盾,从而α5不能由α1,α2,α3,α4线性表出. (Ⅲ)设α2=(1,0,0,0)T,α3=(0,1,0,0)T,α4=(0,0,1,0)T,α5=(0,0,0,1)T,那么 当α1=(1,1,1,0)T时,α2=可由α1,α3,α4,α5线性表出; 而当α1=α3时,α2不能由α1,α3,α4,α5线性表出.

解析
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