2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1，2，-1)T，a2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A； (Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1，2，-1)T，a2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A； (Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)

admin2019-08-09  49
问题 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1，2，-1)T，a2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．
  (Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
  (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A；
  (Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)6，其中E为三阶单位矩阵．
选项
答案(Ⅰ)依题意，因为A=[*] 所以3是矩阵A的一个特征值，a=(1，1，1)T是A属于3的特征向量， 又因为Aa1=0=0a1，Aa2=0=0a2， 所以a1，a2是矩阵A属于λ=0的特征向量，所以A的特征值是3、0、0，且λ=0的特征向量为 k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T(k1，k2是不全为0的常数)， λ=3的特征向量为k=(1，1，1)T(k≠0为常数)． (Ⅱ)由于a1，a2不正交，所以要做Schmidt正交化：β1=a1=(-1，2，-1)T， [*]
解析
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考研数学一

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