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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a1=(-1,2,-1)T,a2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A; (Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a1=(-1,2,-1)T,a2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A; (Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)
admin
2019-08-09
79
问题
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a
1
=(-1,2,-1)
T
,a
2
=(0,-1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解.
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量;
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q
T
AQ=A;
(Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)
6
,其中E为三阶单位矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)依题意,因为A=[*] 所以3是矩阵A的一个特征值,a=(1,1,1)
T
是A属于3的特征向量, 又因为Aa
1
=0=0a
1
,Aa
2
=0=0a
2
, 所以a
1
,a
2
是矩阵A属于λ=0的特征向量,所以A的特征值是3、0、0,且λ=0的特征向量为 k
1
(-1,2,-1)
T
+k
2
(0,-1,1)
T
(k
1
,k
2
是不全为0的常数), λ=3的特征向量为k=(1,1,1)
T
(k≠0为常数). (Ⅱ)由于a
1
,a
2
不正交,所以要做Schmidt正交化:β
1
=a
1
=(-1,2,-1)
T
, [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gcc4777K
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考研数学一
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