已知的一个特征向量. (1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值; (2)问A能否相似于对角阵?说明理由.

admin2016-01-11  41

问题 已知的一个特征向量.
(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值;
(2)问A能否相似于对角阵?说明理由.

选项

答案(1)据定义,有Aξ=λξ,故[*]解之,得λ=一1,a=一3,b=0. (2)据(1),[*]它的特征多项式[*]即λ0=一1是三重特征值,且由于秩r(λ0E—A)=r(A+E)=2,因而方程组(A+E)x=0的解空间是一维的,故A不能相似于对角阵.

解析 设特征向量ξ所对应的特征值为λ,则(λE一A)ξ=0,这是一个含λ,a和b的方程组,由此可解出λ,a和b.A能否相似于对角阵取决于A是否存在3个线性无关的特征向量,求出A的所有特征值并弄清有几个线性无关的特征向量即可判定.
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