已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关列向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，证明：A不可逆．

admin2021-07-27 68

问题已知A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_s是n维线性无关列向量组，若Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关，证明：A不可逆．

选项

答案因Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关，故存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，使得k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=0．即A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s)=Aξ=0，其中ξ=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s，因α₁，α₂，…，α_s线性无关，故对任意不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，有ξ=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s≠0，而Aξ=0，说明线性方程组Ax=0有非零解，从而｜A｜=0，A是不可逆矩阵．

解析

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