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两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M.连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF,且圆心M到EF的距离为2R.求两个小圆的半径,使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大.
两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M.连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF,且圆心M到EF的距离为2R.求两个小圆的半径,使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大.
admin
2021-07-08
84
问题
两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M.连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF,且圆心M到EF的距离为2R.求两个小圆的半径,使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大.
选项
答案
[*] 首先计算一个圆绕其外一直线旋转所得旋转体体积V
1
的通式.建立坐标系如图1-10-11(a)所示.设圆的半径为a,圆心到转轴的距离为ρ,则圆的方程为x
2
+(y-ρ
2
)
2
=a
2
.故有 [*] 现设上面小圆的半径为r,则下面小圆的半径为R—r,且上、下两个小圆的圆心到转轴的距离分别为3R—r,2R—r,如图1-10-11(b)所示.于是,所述旋转体的体积为 V=V
大
一V
上
一V
下
=2π
2
(2R)R
2
一2π
2
(3R—r)r
2
一2π
2
(2R一r)(R—r)
2
=2π
2
(2r
3
一7Rr
2
+5R
2
r)(0<r<R). 令[*]=2π
2
(6r
2
一14Rr+5R
2
r)=0,可解得r=[*] 这是函数V(r)在其定义域(0,R)内的唯一驻点.因为在该点处[*],所以当[*]时,函数V(r)取极大值,从而也是最大值.此时,上、下两个小圆的半径分别为r=[*]
解析
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考研数学二
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