设f(x)=(x2－1)n，则f(n+1)(－1)=______．

admin2019-01-12 41

问题设f(x)=(x²－1)ⁿ，则f⁽ⁿ⁺¹⁾(－1)=______．

选项

答案(n+1)!n(－2)^n－1

解析求乘积的高阶导数，一般用高阶导数的莱布尼茨公式．
f(x)=(x²－1)ⁿ=(x+1)ⁿ(x－1)ⁿ．
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=[(x+1)ⁿ]ⁿ⁺¹(x－1)ⁿ+
C_n－1¹[(x+1)ⁿ]⁽ⁿ⁾[(x－1)ⁿ]’+
C_n+1²[(x+1)ⁿ]^(n－1)[(xi1)ⁿ]’’+…+
C_n+1ⁿ⁺¹(x+1)ⁿ[(x－1)ⁿ]^(n－1)．
以x=－1代入，只有第2项不为0．所以
f⁽ⁿ⁺¹⁾(－1)=(n+1).n!.n(－2)^n－1=(n+1)!n(－2)^n－1．

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考研数学一

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