设f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(1)=f(0)=f’(1)=f’(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使f"(ξ)=f(ξ).

admin2020-03-16  47

问题 设f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(1)=f(0)=f’(1)=f’(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使f"(ξ)=f(ξ).

选项

答案令φ(x)=e-x[f(x)+f’(x)], φ(0)=φ(1)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=e-a[f"(x)一f(x)]且e-x≠0,故f”(ξ)=f(ξ).

解析
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