已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

admin2019-01-23 89

问题已知三元二次型f=x^TAx的秩为2，且

求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

选项

答案二次型x^TAx的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值，(1，2，1)^T是与3对应的特征向量；一1也是A的特征值，(1，一1，1)^T是与一1对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x₁，x₂，x₃)^T，则有 (x₁，x₂，x₃)[*]=0，(x₁，x₂，x₃)[*]=0，由方程组[*]解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)^T。那么[*],所以 A=[*] 因此x^TAx=[*](x₁²+10x₂²+x₃²+16x₁x₂+2x₁x₃+16x₂x₃)，令 [*] 则经正交变换x=Qy，有x^TAx=y^TAy=3y₁²一y₃²。

解析

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考研数学三

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已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

考研数学三

求极限．

将函数f(x)=ln(4—3x—x2)展开成x的幂级数．

设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使得AB+BTA是正定阵．

计算二重积分I=｜3x+4y｜dxdy，其中积分区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}．

设函数z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且≠0，试证明：对任意的常数c，f(x，y)=c为一直线的充分必要条件是(f’y)2．f"xx一2f’x．f’y．f"xy+(f’x)2．f’yy=0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．

设总体X的分布律为P(X=i)=(i=1，2，…，θ)，X1，X2，…，Xn为来自总体的商单随机样本，则θ的矩估计量为__________(其中θ为正整数)．

化三重积分为三次积分，其中积分区域Ω分别是：(1)由平面z＝0，z＝y及柱面所围成的闭区域；(2)由曲面z＝x2＋2y2及z＝2－x2所围成的闭区域；(3)由曲面z＝xy，x2＋y2＝1，z＝0所围成的位于第一卦限的闭区域；(4)由双曲抛物面z＝x

证明：方阵A是正交矩阵，即AAT=E的充分必要条件是：(1)A的列向量组组成标准正交向量组，即或(2)A的行向量组组成标准正交向量组，即

设f(χ)在[0，1]上连续，且满足f(0)＝1，f′(χ)＝f(χ)＋aχ－a，求f(χ)，并求a的值，使曲线y＝f(χ)与χ＝0，yχ0，χ＝1所围平面图形绕χ轴旋转一周所得体积最小．

根据下列材料回答问题。以下说法正确的是()。

最可能的诊断是为了预防感染此病，如发现或怀疑有伤口或针刺感染可能时，可应用

非胃肠手术准备，禁食的时间是()。

公路隧道的建筑限界包括(　　)。

以下关于矿山工程进度的说法，不正确的是()。

股份制改制的法律审查的内容包括()。

商标注册的申请按照申请在先原则，同日使用的，如果协商不成的，由商标局裁定。()

《旅行社条例实施细则》自2009年5月1日起施行。()

下列行为中，构成放火罪的是()。

已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

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设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使得AB+BTA是正定阵．

计算二重积分I=｜3x+4y｜dxdy，其中积分区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}．

设函数z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且≠0，试证明：对任意的常数c，f(x，y)=c为一直线的充分必要条件是(f’y)2．f"xx一2f’x．f’y．f"xy+(f’x)2．f’yy=0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．

设总体X的分布律为P(X=i)=(i=1，2，…，θ)，X1，X2，…，Xn为来自总体的商单随机样本，则θ的矩估计量为__________(其中θ为正整数)．

化三重积分为三次积分，其中积分区域Ω分别是：(1)由平面z＝0，z＝y及柱面所围成的闭区域；(2)由曲面z＝x2＋2y2及z＝2－x2所围成的闭区域；(3)由曲面z＝xy，x2＋y2＝1，z＝0所围成的位于第一卦限的闭区域；(4)由双曲抛物面z＝x

证明：方阵A是正交矩阵，即AAT=E的充分必要条件是：(1)A的列向量组组成标准正交向量组，即或(2)A的行向量组组成标准正交向量组，即

设f(χ)在[0，1]上连续，且满足f(0)＝1，f′(χ)＝f(χ)＋aχ－a，求f(χ)，并求a的值，使曲线y＝f(χ)与χ＝0，yχ0，χ＝1所围平面图形绕χ轴旋转一周所得体积最小．

根据下列材料回答问题。以下说法正确的是()。

最可能的诊断是为了预防感染此病，如发现或怀疑有伤口或针刺感染可能时，可应用

非胃肠手术准备，禁食的时间是()。

公路隧道的建筑限界包括( )。

以下关于矿山工程进度的说法，不正确的是()。

股份制改制的法律审查的内容包括()。

商标注册的申请按照申请在先原则，同日使用的，如果协商不成的，由商标局裁定。()

《旅行社条例实施细则》自2009年5月1日起施行。()

下列行为中，构成放火罪的是()。

已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

公路隧道的建筑限界包括(　　)。