已知三元二次型f=xTAx的秩为2,且 求此二次型的表达式,并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

admin2019-01-23  33

问题 已知三元二次型f=xTAx的秩为2,且

求此二次型的表达式,并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

选项

答案二次型xTAx的秩为2,即r(A)=2,所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值,(1,2,1)T是与3对应的特征向量;一1也是A的特征值,(1,一1,1)T是与一1对应的特征向量。 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,设λ=0的特征向量是(x1,x2,x3)T,则有 (x1,x2,x3)[*]=0,(x1,x2,x3)[*]=0, 由方程组[*]解出λ=0的特征向量是(1,0,一1)T。 那么[*],所以 A=[*] 因此xTAx=[*](x12+10x22+x32+16x1x2+2x1x3+16x2x3), 令 [*] 则经正交变换x=Qy,有xTAx=yTAy=3y12一y32

解析
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