差分方程Yx＋1－2yx＝3x的通解为___________。

admin2019-12-24 68

问题差分方程Y_x＋1－2y_x＝3^x的通解为___________。

选项

答案y(x)＝C2^x＋3^x，其中C为任意常数

解析由已知方程可知对应的齐次差分方程的特征值λ＝2，通解为y(x)＝C2^x。因为λ＝2≠3，所以令特解y^*＝A·3^x，代入原方程得A＝1，故原方程的通解为y(x)＝C2^x＋3^x，其中C为任意常数。
本题考查差分方程的解法。λ＋a＝0是一阶常系数齐次差分方程y_x＋1＋ay_x＝0的特征方程，其通解为y(x)＝C(－a)^x。
一阶常系数非齐次差分方程Y_x＋1＋ay_x＝f(x)的通解为其对应一阶常系数齐次差分方程的通解与该非齐次差分方程的一个特解之和。对于f(x)＝P_n(x)·b^x的情况，当b≠－a时，特解设为y^*＝Q_n(x)·b^x；当b＝－a时，特解设为y^*＝xQ_n(x)·b^x(其中Q_n(x)是与P_n(x)同次幂的多项式)。

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考研数学三

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